Question

2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}•tsin\frac{π}{6}\\ y=tcos\frac{7π}{4}-6\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是参数）
以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=4cos（{θ+\frac{π}{4}}）$．
（1）求直线l的普通方程和圆心C的直角坐标；
（2）求圆C上的点到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式和诱导公式，两角和与差的公式，ρsinθ=y，ρcosθ=x消去参数即可得直线l的普通方程和圆心C的直角坐标
（2）利用圆心到直线的距离减去半径即可是最小值．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}•tsin\frac{π}{6}\\ y=tcos\frac{7π}{4}-6\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是参数），可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-6\sqrt{2}}\end{array}\right.$
消去t可得：y=x-$6\sqrt{2}$
∴直线l的普通方程为$y=x-6\sqrt{2}$
又∵$ρ=4cos（{θ+\frac{π}{4}}）$，开展可得：ρ=$2\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ
得：${ρ^2}=2\sqrt{2}xρcosθ-2\sqrt{2}ρsinθ$，
根据ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴圆C的普通方程为${x^2}+{y^2}=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y$，即${x^2}+{y^2}-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0$，
即：圆心C的直角坐标为$（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．半径r=2．
（2）圆C上的点到直线l距离的最小值．即是圆心到直线的距离减去半径．
由（1）可得圆心C的直角坐标为$（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．半径r=2．
∴圆心到直线的距离$d=\frac{{|{\sqrt{2}+\sqrt{2}-6\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=4$，
又d-r=2，
∴圆C上的点到直线l距离最小值为2．

点评 本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的换算．属于基础题．