Question

13．在直角坐标系XOY中，F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，B（0，b），连接BF₂并延长，交椭圆于A，C与A关于X轴对称
（1）若C（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），BF₂=$\sqrt{2}$，求椭圆方程
（2）若F₁C⊥AB，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）将C代入椭圆方程及两点之间的距离公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由直线BA的方程代入椭圆方程，求得A和C点坐标，由-$\frac{b}{c}$×$\frac{{b}^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$=-1，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：（1）∵丨BF₂丨=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，将点C（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9{b}^{2}}=1$，且c²+b²=a²
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）直线BA方程为y=-$\frac{b}{c}$x+b，与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立得
则$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$x²-$\frac{2{a}^{2}}{c}$x=0．∴点A（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
∴点C（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），F₁（-c，0）
直线CF₁斜率k=$\frac{{b}^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，又∵F₁C⊥AB，
∴-$\frac{b}{c}$×$\frac{{b}^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$=-1，
∴$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}（3{a}^{2}+{c}^{2}）}$=1，整理得：5e²=1，
由0＜e＜1，解得；e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
椭圆的离心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的标准方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．