Question

下列说法，其中正确命题的序号为

 

．
①若函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值，则c=2实数或6；
②对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有f（0）+f（2）＞2f（1）；
③若函数f（x）=x³-3x在（a²-17，a）上有最大值，则实数a的取值范围为（-1，4）；
④已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：对于①，求出原函数的导函数，得到极大值点，由在x=2处有极大值求解c的值判断；
对于②，由（x-1）f′（x）≥0得到函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增，借助于函数的单调性比较f（0），f（1），f（2）的大小判断；
对于③，求出函数f（x）=x³-3x的最大值点，即极大值点，由极大值点在（a²-17，a）内得答案；
对于④，构造函数g（x）=

f(x)

x

，由xf′（x）-f（x）＞0得到

f(x)

x

在（0，+∞）为增函数，且f（1）=0，得到函数

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，结合奇偶性求得不等式f（x）＞0的解集．

解答： 解：对于①，展开可得f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
求导数可得f′（x）=3x²-4cx+c²=（x-c）（3x-c），
令（x-c）（3x-c）=0，可得x=c，或x=

c

3

，
当c=0时，函数无极值，不合题意，
当c＞0时，可得函数在（-∞，

c

3

）单调递增，
在（

c

3

，c）单调递减，在（c，+∞）单调递增，
故函数在x=

c

3

处取到极大值，故c=6；
当c＜0时，可得函数在（-∞，c）单调递增，
在（c，

c

3

）单调递减，在（

c

3

，+∞）单调递增，
故函数在x=c处取到极大值，故c=2，矛盾．
∴命题①错误；
对于②，（x-1）f′（x）≥0，则：
函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴f（0）＞f（1）、f（2）＞f（1），
得：f（0）+f（2）＞2f（1）．命题②正确；
对于③，∵函数f（x）在（a²-17，a）上有最大值，∴此最大值必是极大值，
对函数f（x）求导得，f′（x）=3x²-3，求得极值点为x=1或者x=-1，
∵当x＞1或者x＜-1时，f′（x）＞0，单调递增，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，单调递减．
∴x=-1为极大值点，包含在（a²-17，a）之内，
∴a²-17＜-1＜a，
解得-1＜a＜4．
∴实数a的取值范围为（-1，4）．命题③正确；
对于④，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），即

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
也就是[

f(x)

x

]′＞0，
则

f(x)

x

在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有

f(1)

1

=f（1）=0．
故函数

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，则此时f（x）＜0，
同理，函数

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，则此时f（x）＞0，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0，
当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
故不等式f（x）＞0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．命题④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的极值，解答此题的关键是合理构造函数，是压轴题．