Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-4|-a，a∈R．
（1）当a=-3，求f（x）≥9的解集；
（2）当f（x）＞0在定义域R上恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,带绝对值的函数

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）分x＜1时、1≤x≤4时和x＞4时3种情况加以讨论，分别得到f（x）的表达式，再解不等式f（x）≥9，最后综合可得所求的解集；
（2）f（x）＞0可化为|x-1|+|x-4|≥a，故把f（x）＞0在定义域R上恒成立转化为|x-1|+|x-4|≥a在定义域R上恒成立，利用求最值解决．

解答： 解：（1）由于a=-3，∴f（x）=|x-1|+|x-4|-（-3）≥9，
∴|x-1|+|x-4|≥6
当x＜1时，|x-1|+|x-4|=1-x+4-x=-2x+5≥6，解得x≤-

1

2

；
当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|=x-1+4-x=3≥6，解集为∅；
当x＞4时，|x-1|+|x-4|=x-1+x-4=2x-5≥6，解得x≥

11

2

；
综上所述，原不等式的解集为{x|x≤-

1

2

，或x≥

11

2

}．
（2）f（x）＞0可化为|x-1|+|x-4|≥a，
∴f（x）＞0在定义域R上恒成立也就是|x-1|+|x-4|≥a在定义域R上恒成立，
∵|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
∴要使|x-1|+|x-4|≥a在定义域R上恒成立，只要使3≥a即可，∴a≤3，
∴a的取值范围是（-∞，3）

点评：本题给出含有绝对值的函数，解关于x的不等式，着重考查了绝对值的含义、不等式的解法和不等式恒成立的问题，属于中档题．