Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，S_n²-S_n-1²=a_n³（n≥2）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}为等差数列，并求出其通项公式；
（Ⅱ）对于数列{a_n}，在每两个a_k与a_k+1之间都插入k（k∈N₊）个2，使数列{a_n}变成一个新数列{t_m}，数列{t_m}的前m项和为T_m，若T_m＞2014，求m的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=

a

3 n

，即(Sn+Sn-1)an=

a

3 n

，再写一式，两式相减，即可得出结论；
（Ⅱ）求出数列{t_m}中，a_k（含a_k项）前的所有项之和，利用T_m＞2014，求m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=

a

3 n

，即(Sn+Sn-1)an=

a

3 n

，
∴Sn+Sn-1=

a

2 n

，Sn+1+Sn=

a

2 n+1

，两式相减得an+1+an=

a

2 n+1

-

a

2 n

，于是a_n+1-a_n=1（n≥2）；
又由a₁=1，

S

2 2

-

S

2 1

=

a

3 2

，可得a₂=2，所以a₂-a₁=1；
因此，数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式为a_n=n．…6分
（Ⅱ）数列{t_m}中，a_k（含a_k项）前的所有项之和为(1+2+…+k)+[1+2+…+(k-1)]×2=

k(k+1)

2

+k(k-1)=

3k2-k

2

，
当k=36时，其和为

3×362-36

2

=1926＜2014；当k=37时，其和为

3×372-37

2

=2035＞2014；
又因为2014-1926=88＞36×2=72，故恰好在k=37时开始满足T_m＞2014．
∴m_min=37+（1+2+…+36）=703． …12分．

点评：本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查实数取值范围的求法．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．