Question

设命题p：方程4x²+4（t-2）x+1=0无实数根；命题q：曲线y=x²+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据一元二次方程解的情况及二次函数图象和x轴交点的情况与判别式△的关系，求出命题p，q下的t的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况的t的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：方程4x²+4（t-2）x+1=0无实数根，则：
△=16（t-2）²-16＜0，即1＜t＜3；
命题q：曲线y=x²+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点，则：
△=（2t-3）²-4＞0，即t＞

5

2

，或t＜

1

2

；
∴如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；
∴若p真q假，则：

1＜t＜3 1 2 ≤t≤ 5 2

，∴1＜t≤

5

2

；
若p假q真，则：

t≤1，或t≥3 t＞ 5 2 ，或t＜ 1 2

，∴t＜

1

2

，或t≥3；
∴实数t的取值范围为{t|t＜

1

2

，或1＜t≤

5

2

，或t≥3}．

点评：考查一元二次方程解的情况和判别式的关系，二次函数与x轴交点的情况和判别式的关系，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．