Question

14．已知F₁、F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．

解答 $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a₁，（a＞a₁），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos$\frac{π}{3}$，①
在椭圆中，①化简为即4c²=4a²-3r₁r₂…②，
在双曲线中，①化简为即4c²=4a₁²+r₁r₂…③，
$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
由柯西不等式得（1+$\frac{1}{3}$）（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$）=（$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{\sqrt{3}}{{e}_{2}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$）²
$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{1}{{e}_{2}}≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．