Question

10．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，且$α-β=\frac{2π}{3}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，根据向量的夹角公式公式计算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，且$α-β=\frac{2π}{3}$，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+cosθ，
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=2+2cosθ，
∴cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{\overrightarrow{|a|}•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1+cosθ}{2+2cosθ}$=$\frac{1}{2}$，
∵夹角的范围0～π，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夹角$\frac{π}{3}$．
故选：A

点评 本题主要考查了向量的坐标运算和数量积的运算，属于基础题