Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，2sinα），\overrightarrow b=（2cosβ，-sinβ）$，$α、β∈[0，\frac{π}{2}]$．
（1）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{10}{13}$，$sinβ=\frac{4}{5}$，求sin（α+2β）的值；
（2）若$\overrightarrow c=（0，1）$，求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow c}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，并化简可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2cos（α+β）=-\frac{10}{13}$，根据α，β的范围即可求出sin（α+β）的值，而根据$sinβ=\frac{4}{5}$及β的范围即可求出cosβ的值，而sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]，这样根据两角和的正弦公式即可求出sin（α+2β）的值；
（2）先求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$的坐标，从而求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{3si{n}^{2}α-4sinα+2}$，换元sinα=t，t∈[0，1]，从而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{3{t}^{2}-4t+2}$，这样配方即可求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$的取值范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosαcosβ-2sinαsinβ$=$2cos（α+β）=-\frac{10}{13}$；
∴$cos（α+β）=-\frac{5}{13}$；
∵0≤α+β≤π；
∴$sin（α+β）=\sqrt{1-{{cos}^2}（α+β）}=\frac{12}{13}$；
又 $sinβ=\frac{4}{5}$，$β∈[0，\frac{π}{2}]$，$cosβ=\frac{3}{5}$；
∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]
=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}-\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$
=$\frac{16}{65}$；
（2）由已知得：$\overrightarrow a-\overrightarrow c=（cosα，2sinα-1）$；
∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow c}|=\sqrt{{{cos}^2}α+{{（2sinα-1）}^2}}$=$\sqrt{3{{sin}^2}α-4sinα+2}$；
令t=sinα，∵$α∈[0，\frac{π}{2}]$，∴t∈[0，1]；
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{3{t}^{2}-4t+2}$=$\sqrt{3（t-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$；
∴$t=\frac{2}{3}$时，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$取最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$，t=0时，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$取最大值$\sqrt{2}$；
∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow c}|$的范围是$[\frac{\sqrt{6}}{3}，\sqrt{2}]$．

点评 考查数量积的坐标运算，两角和的正余弦公式，以及向量坐标的减法运算，配方求二次函数最值的方法．