Question

16．已知函数f（x）=ax²+x-a，其中x∈[-1，1]．
（1）若对于任意x∈R，关于x的不等式f（x）＜（1-a）x+1-a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得ax²+ax-1＜0恒成立，讨论a=0和a＜0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由二次函数在闭区间上的最值为顶点处的函数值和端点处的函数值，求得f（1）和f（-1），可得f（x）的最大值在对称轴处取得，解方程可得a，检验即可得到所求值．

解答 解：（1）关于x的不等式f（x）＜（1-a）x+1-a恒成立，即为
ax²+ax-1＜0恒成立，
当a=0时，-1＜0显然成立；
当a＜0时，判别式△=a²+4a＜0，即-4＜a＜0恒成立．
综上可得a的范围是（-4，0]；
（2）函数f（x）=ax²+x-a，x∈[-1，1]，
由二次函数在闭区间上的最值为顶点处的函数值和端点处的函数值，
可得f（1）=a+1-a=1，f（-1）=a-1-a=-1，
由题意可得f（x）的最大值为f（-$\frac{1}{2a}$）=$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得a=-2或-$\frac{1}{8}$，
当a=-2时，f（x）=-2x²+x+2=-2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，且$\frac{1}{4}$∈[-1，1]成立；
当a=-$\frac{1}{8}$时，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+x+$\frac{1}{8}$=-$\frac{1}{8}$（x-4）²+$\frac{17}{8}$，且4∉[-1，1]，故不成立．
综上可得a=-2．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意讨论a的取值，考查二次函数的最值的求法，注意讨论最值的取得的情况是解题的关键，属于中档题．