Question

3．已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$．求矩阵M及另一个特征值λ₂和特征向量$\overrightarrow{{e}_{2}}$．

Answer 1

分析 先求出b=2，c=3，从而求出M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，由此利用矩阵M的特征多项式能求出矩阵M及另一个特征值λ₂和特征向量$\overrightarrow{{e}_{2}}$．

解答 解：∵矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{c}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{8}\\{12}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+3b=8}\\{2c+6=12}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=3，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$．
矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）-6=（λ+1）（λ-4）=0，
解得λ₁=4，λ₂=-1，
当λ₂=-1时，设$\overrightarrow{{e}_{2}}=[\begin{array}{l}{{a}_{1}}\\{{a}_{2}}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{{a}_{1}}\\{{a}_{2}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-{a}_{1}}\\{-{a}_{2}}\end{array}]$，
解得a₂=-a₁，
令a₁=1，得$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$．（答案不唯一）．

点评 本题考查矩阵及特征值和特征向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵运算性质的合理运用．