Question

6．已知三个互不相等的整数x、y、z之和在区间（40，44）内，若x、y、z依次构成公差为d的等差数列，x+y，y+z，z+x依次构成公比为q的等比数列，则d•q的值为42．

Answer 1

分析 运用等差数列的中项的性质，可得x+z=2y，由x+y+z的范围，可得y=14，再由等比数列的中项的性质可得d的方程，解方程可得d=-84，再由等比数列的定义可得q，即可得到所求值．

解答 解：由题意可得x+y+z∈（40，44），且x，y，z互不相等，
由x、y、z依次构成公差为d的等差数列，
可得x+z=2y，即有3y∈（40，44），即y∈（$\frac{40}{3}$$\frac{44}{3}$），
由y为整数，可得y=14，
可得x=14-d，z=14+d，
由x+y，y+z，z+x依次构成公比为q的等比数列，
可得（y+z）²=（x+y）（x+z），
即有（14+14+d）²=（14-d+14）（14-d+14+d），
化简可得d²+84d=0，解得d=-84（0舍去），
即有q=$\frac{y+z}{x+y}$=$\frac{14+14-84}{14+84+14}$=-$\frac{1}{2}$，
则d•q=（-84）•（-$\frac{1}{2}$）=42．
故答案为：42．

点评 本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．