Question

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出e=

c

a

=

1

2

，a-c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）存在直线l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．设直线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=

c

a

=

1

2

，由右焦点到右顶点的距离为1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．
所以b2 =4-1=3．                              
所以椭圆C的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：存在直线l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
若|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立，
即|

OA

+2

OB

|²=|

OA

-2

OB

|²，等价于

OA

•

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•

4m2-12

3+4k2

-km•

8km

3+4k2

+m2=0，
化简得7m²=12+12k²．
将k2=

7

12

m2-1代入3+4k²＞m²中，3+4（

7

12

m2-1）＞m²，
解得m2＞

3

4

．
又由7m²=12+12k²≥12，得m2≥

12

7

，
从而m2≥

12

7

，解得m≥

2 21

7

或m≤-

2 21

7

．
所以实数m的取值范围是(-∞，-

2 21

7

]∪[

2 21

7

，+∞)．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．