Question

10．设过点P（-1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y²=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y²=4x的焦点，|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{BF}$|=（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． 5
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出切线AP、BP的方程，代入P点的坐标，结合韦达定理，向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：设切点A、B坐标分别为（$\frac{1}{4}$y₀²，y₀）和（$\frac{1}{4}$y₁²，y₁）（y₁≠y₀），
∵2yy′=4，∴两切线斜率分别为：$\frac{2}{{y}_{0}}$和$\frac{2}{{y}_{1}}$，
于是：切线AP的方程为：2x-yy₀+$\frac{1}{2}$y₀²=0
代入P点的坐标为：y₀²-2y₀-4=0．
同理y₁²-2y₁-4=0
由题意，y₀+y₁=2，y₀y₁=-4，
∴|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{BF}$|=-（1-$\frac{1}{4}$y₀²，-y₀）•（1-$\frac{1}{4}$y₁²，-y₁）=-[1-$\frac{1}{4}$（y₀²+y₁²）+$\frac{1}{16}$y₀²y₁²+y₀y₁]=5．
故选：B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的数量积公式，正确运用韦达定理是关键．