Question

1．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．

我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为（13，14），第n（n∈N^*）行中白圈与黑圈的“坐标”为（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的黑白圈的个数，进而可归纳第n行的墨白圈数．

解答 解：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，
记某行白圈x个，黑圈y个为（x，y），
则第一行记为（0，1），
第二行记为（1，2），
第三行记为（4，5），
第四行记为（13，14），
第四行中白圈与黑圈的“坐标”为：（13，14），
各行黑圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的黑圈数为$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，
而第n行共有：3^n-1个圈，
故第n行的白圈数为3^n-1-$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$=$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，
故第n（n∈N^*）行中白圈与黑圈的“坐标”为（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$），
故答案为：（13，14），（$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$）

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．