Question

  如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．

Answer 1

解：

(1)∵M为AB中点，D为PB中点，

∴DM∥AP，又DM⊄平面APC，AP⊂平面APC.

∴DM∥平面APC.

(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，

∴MD⊥PB，又由(1)知MD∥AP，

∴AP⊥PB

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC

∴BC⊥平面APC

∴平面ABC⊥平面APC.

(3)∵AB＝20，∴MP＝10，∴PB＝10

又BC＝4，PC＝＝2

∴S_△BDC＝S_△PBC＝PC·BC＝×4×2

＝2

又MD＝AP＝＝5

∴V_D－BCM＝V_M－BCD＝S_△BDC·DM＝×2×5

＝10.