Question

已知函数f（x）=ln（x+

1

x

），且f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y=g（x）
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（

1

2

），再求出f（

1

2

），然后直接利用直线方程的点斜式得答案；
（2）令t（x）=f（x）-g（x），求出其导函数，然后得到函数的极值点，求得极小值，也就是函数在定义域内的最小值，由最小值等于0得答案．

解答： 解析：（1）∵f（x）=ln（x+

1

x

），
∴f′（x）=

x

x2+1

(1-

1

x2

)=

x2-1

x3+x

，
∴切线斜率k=f′（

1

2

）=-

6

5

．
∴f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y-ln

5

2

=-

6

5

(x-

1

2

)，即y=g（x）=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；
（2）证明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln（x+

1

x

）+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

(x＞0)，
故t′(x)=

x2-1

x3+x

+

6

5

=

6x3+5x2+6x-5

5(x3+x)

=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

，
∴当0＜x

1

2

时，t′（x）0．
∴t(x)min=t(

1

2

)=0．
故t（x）≥0．
即当x＞0时，f（x）≥g（x）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，关键是函数的构造，是压轴题．