Question

求函数f（x）=

x2+2x+2

x2+x+1

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：利用分离常数将式子变形，再利用双勾函数的性质即能求出函数的值域．

解答： 解：f（x）=

x2+2x+2

x2+x+1

=

x2+x+1+x+1

x2+x+1

=1+

x+1

x2+x+1

=1+

1

(x+1)2-(x+1)+1 x+1

=1+

1

(x+1)+ 1 x+1 -1

∵当x≠-1时，x+1+

1

x+1

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
∴(x+1)+

1

x+1

-1∈(-∞，-3]∪[1，+∞），
∴f（x）∈[

2

3

，1)∪（1，2]
当x=-1时，f（x）=1，∴f（x）的值域为[

2

3

，2]．
故答案为：[

2

3

，2]．

点评：在求函数的值域时分离常数法是常用的方法之一，适当变形后，再利用双勾函数的性质，求出值域，也可以利用单调性来求出值域．