Question

（1）解不等式x|x-1|-2＜|x-2|；
（2）已知x，y，z均为正数．求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,绝对值不等式的解法

专题：计算题

分析：（1）分①当x≥2、当1≤x＜2、当x＜1三种情况，分别求出不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用基本不等式证得

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，即得要证的不等式．

解答： 解：（1）①当x≥2时，原不等式为x（x-1）-2＜x-2⇒0＜x＜2．又x≥2，∴x∈∅．
②当1≤x＜2时，原不等式x（x-1）-2＜2-x⇒-2＜x＜2．又1≤x＜2，∴1≤x＜2．
③当x＜1时，原不等式x（1-x）-2＜2-x⇒x∈R，又x＜1，∴x＜1．
综上：原不等式的解集为{x|x＜2}．
（2）证明：因为x，y，z均为正数．所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，
同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用综合法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．