Question

11．在正项等比数列{a_n}和正项等差数列{b_n}中，已知a₁，a₂₀₁₇的等比中项与b₁，b₂₀₁₇的等差中项相等，且$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{4}{{b}_{2017}}$≤1，当a₁₀₀₉取得最小值时，等差数列{b_n}的公差d的取值集合为（　　）

• A． {d|d≥$\frac{1}{672}$}
• B． {d|0＜d＜$\frac{1}{672}$}
• C． {$\frac{1}{672}$}
• D． {d|d≥$\frac{3}{2017}$}

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的中项的性质，可得a₁₀₀₉=b₁₀₀₉，运用基本不等式求得（b₁+b₂₀₁₇）（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{4}{{b}_{2017}}$）的最小值，可得b₁+b₂₀₁₇取得最小值9，即有b₁₀₀₉的最小值，运用等差数列的通项公式，解方程可得d的值．

解答 解：在正项等比数列{a_n}和正项等差数列{b_n}中，
已知a₁，a₂₀₁₇的等比中项与b₁，b₂₀₁₇的等差中项相等，
可得$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2017}}$=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2017}}{2}$，
即为a₁₀₀₉=b₁₀₀₉，当a₁₀₀₉取得最小值时，即为当b₁₀₀₉取得最小值时．
由（b₁+b₂₀₁₇）（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{4}{{b}_{2017}}$）=5+$\frac{{b}_{2017}}{{b}_{1}}$+$\frac{4{b}_{1}}{{b}_{2017}}$≥5+2$\sqrt{\frac{{b}_{2017}}{{b}_{1}}•\frac{4{b}_{1}}{{b}_{2017}}}$=9，
当且仅当b₂₀₁₇=2b₁时，取得等号．
再由$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{4}{{b}_{2017}}$≤1，可得b₁+b₂₀₁₇≥$\frac{9}{\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{4}{{b}_{2017}}}$≥9，
即有b₁+b₂₀₁₇取得最小值9，此时b₂₀₁₇=2b₁，
可得最小值b₁₀₀₉=$\frac{9}{2}$，即有b₁+1008d=$\frac{9}{2}$，b₁+2016d=2b₁，
解得d=$\frac{1}{672}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式的运用，基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．