Question

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“good sight”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有2人是“good sight”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选4人，记ξ表示抽到“good sight”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：茎叶图,众数、中位数、平均数,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）根据所给的茎叶图以及众数和中位数的概念，得出众数与中位数；
（2）由题意知这是一个古典概型，且至多有2人是“good sight”的对立事件是3人都是“good sight”，从而求出所求概率；
（3）从该校任选4人，记ξ表示抽到是“good sight”的可能取值是0、1、2、3，4，求出变量对应事件的概率，写出分布列和期望．

解答： 解：（1）根据茎叶图知，这组数据的众数是4.6和4.7，中位数是

4.7+4.8

2

=4.75；
（2）根据题意，从这16人中随机选取3人，至多有2人是“good sight”的对立事件是3人都是“good sight”，
∴至多有2人是“good sight”的概率是P（A）=1-

C 3 4

C 3 16

=1-

1

140

=

139

140

；
（3）根据题意，ξ的可能的取值为0，1，2，3，4，
∴P（ξ=0）=(

3

4

)4=

81

256

，P（ξ=1）=

C

1 4

×

1

4

×(

3

4

)3=

27

64

，P（ξ=2）=

C

2 4

×(

1

4

)2×(

3

4

)2=

54

256

，P（ξ=3）=

C

3 4

×(

1

4

)3×

3

4

=

3

64

，P（ξ=4）=(

1

4

)4=

1

256

；
∴ξ的分布列是；

ξ	0	1	2	3	4
p（ξ）	81 256	27 64	54 256	3 64	1 256

ξ的数学期望是Eξ=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

54

256

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

点评：本题考查了众数与中位数，古典概型的计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，解题时应明确这些概念和计算公式，是综合题目．