Question

某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．经市场分析，价格模拟函数为以下三个函数中的一个：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）（注：函数的定义域是[0，5]）．其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，依此类推．
（Ⅰ）请判断以上哪个价格模拟函数能准确模拟价格变化走势，为什么？
（Ⅱ）若该果品4月1日投入市场的初始价格定为6元，且接下来的一个月价格持续上涨，并在5 月1日达到了一个最高峰，求出所选函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽境外销售，且销售价格为该果品上市期间最低价格的2倍，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌及境外销售的价格．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题

分析：（Ⅰ）从研究三个函数的单调性出发，对照着题目中所说的“上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌”的市场行情，确定满足题意的函数；
（Ⅱ）由题目中的叙述可知，f（0）=6，f′（1）=0，从中解出两个参数p，q，再写出f（x）的解析式．
（Ⅲ）对f（x）求导，计算其在0≤x≤5时的减区间和最小值，从而确定该果品在哪几个月内价格下跌及境外销售的价格．

解答： 解：（Ⅰ）应选f（x）=x（x-q）²+p．
因为①f（x）=p•q^x中单调函数；②f（x）=px²+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；③f（x）=x（x-q）²+p中，f'（x）=3x²-4qx+q²，令f'（x）=0，得x=q，x=

q

3

，f'（x）有两个零点．出现两个递增区间和一个递减区间，符合价格走势；
（Ⅱ）由f（0）=6，f′（1）=0，得

6=p 0=3-4p+q2

，解得

p=6 q=3

（q=1舍去）．
∴f（x）=x（x-3）²+6，即f（x）=x³-6x²+9x+6（0≤x≤5）；
（Ⅲ）由f'（x）＜0，解得1＜x＜3，

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f（x）	6	↑	极大值 10	↓	极小值 6	↑	26

所以函数f（x）=x³-6x²+9x+6在区间（1，3）上单调递减，
故这种水果在5月，6月份价格下跌．且境外销售的价格为2×6=12（元）

点评：本题属于较为基础的应用题，题目中所涉及到的数学知识并不复杂，都是基本知识和方法的考查，关键是怎样把现实中的问题抽象成数学问题，这对于学生是一个难点，同时这也是解决大多数应用题的关键所在．