Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式能求出公差d=1．
（Ⅱ）由S_n≥S₈成立，得到sn=

1

2

n2+(a1-

1

2

)n=

1

2

[n-(

1

2

-a1)]2-

1

2

(

1

2

-a1)2在n=8时取最小值，由此能求出a₁的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，
∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，
解得公差d=1．…（5分）
（Ⅱ）由S_n≥S₈成立，
有sn=

1

2

n2+(a1-

1

2

)n=

1

2

[n-(

1

2

-a1)]2-

1

2

(

1

2

-a1)2在n=8时取最小值，…（8分）
∵n∈N^*，∴

15

2

≤

1

2

-a1≤

17

2

，即：-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范围是[-8，-7]．…（12分）

点评：本题考查等差数列的公差和首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．