Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+m
（1）写出函数f（x）的周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最小值为2，求：当x取何值时，函数f（x）取得最大值，最大值为多少？

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+m，故函数的周期．令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的减区间．
（2）根据x∈[-

π

6

，

π

3

]时，利用函数的定义域和值域根据函数f（x）取得最小值为2，解得m的值，可得函数f（x）取得最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+m，故函数的周期为T=

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，故当2x+

π

6

=-

π

6

时，函数f（x）取得最小值为-

1

2

+m=2，解得 m=

5

2

．
故当2x+

π

6

=

π

2

 时，函数f（x）取得最大值为1+m=

7

2

，即当x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值为

7

2

．

点评：本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定i义域和值域，属于中档题．