Question

16．设函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）；
（2）求证：函数f（x）是奇函数；
（3）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，解不等式：f（lgx-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，代入计算即可得到f（0）=0；
（2）可令y=-x，结合f（0）=0，可得f（-x）=-f（x），再由定义域关于原点对称，即可得证；
（3）由题意可得f（x）在R上递增，可得lgx-1＜0，由对数不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），
即f（0）=0；
（2）证明：令y=-x代入得f（0）=f（x）+f（-x），
由f（0）=0，所以f（x）=-f（-x），
又函数定义域为R，故f（x）是奇函数．
（3）因为f（x）在[0，+∞）上是增函数且f（x）是奇函数，
所以f（x）在R上是增函数，
由f（lgx-1）＜0及f（0）=0得
f（lgx-1）＜f（0），
所以lgx-1＜0即lgx＜1，
解得：0＜x＜10，
故解集为：{x|0＜x＜10}．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的解法，属于中档题．