Question

5．在平面直角坐标系中，若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≥0\\ ax-y-1≤0\\ x-1≤0\end{array}\right.$（a为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a的值为-5．

Answer 1

分析 先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≥0\\ ax-y-1≤0\\ x-1≤0\end{array}\right.$（a为常数）围成的区域如图所示．
当a=0时，对应的三角形为△ABD，此时A（0，-1），B（1，0），D（1，-1），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，
∴a=0不成立，
则a＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{ax-y-1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a-1}\end{array}\right.$，即C（1，a-1），
∴$\frac{1}{2}×$|BC|×|x_A-x_B|=3，
即$\frac{1}{2}$×（1-a）×1=3，
即1-a=6，则a=-5．
故答案为：-5．

点评 本题主要考查线性规划的应用，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．