Question

13．在等比数列{a_n}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，再紧接着后面的3n和S是多少？

Answer 1

分析 由已知得等比数列an的公比q≠1，S_6n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6n}）}{1-q}$=2+12+S=14+S，令p=qⁿ，求出p，由此能求出再紧接着后面的3n和S的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，
∴等比数列an的公比q≠1，
由已知条件可得：
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2，
S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$=2+12=14，
S_6n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6n}）}{1-q}$=2+12+S=14+S，
令 p=qⁿ，则$\frac{14}{2}=\frac{{S}_{3n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1-{p}^{3}}{1-p}$=1+p+p²，
解得：p=2或-3；
∴当p=2时，$\frac{14+S}{14}$=$\frac{{S}_{6n}}{{S}_{3n}}$=$\frac{1-{p}^{6}}{1-{p}^{3}}$=1+p³=9，
解得S=112，
 当p=-3时，$\frac{14+S}{14}$=$\frac{{S}_{6n}}{{S}_{3n}}$=$\frac{1-{p}^{6}}{1-{p}^{3}}$=1+p³=-26，
解得：S=-378．
∴再紧接着后面的3n和S是112或-378．

点评 本题考查数列的前3n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．