题目内容

9．已知直线l：y=kx与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A．$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$B．$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$C．$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$D．$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$

分析 由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．

解答 解：由AF与BF垂直，
运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得||OA|=|OF|=c，
由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2-c2，
即有c2＞$\frac{1}{2}$a2，
可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用直角三角形斜边上中线的性质，以及离心率公式和弦长的性质，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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