Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求异面直线AC₁与BB₁所成的角；
（2）求四面体B₁C₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）由BB₁∥CC₁可知∠AC₁C为所求角，由CC₁⊥底面ABC，AC=CC₁可知△ACC₁为等腰直角三角形；
（2）取BC中点F，则DF为棱锥D-BCC₁的高，底面为直角三角形BCC₁，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）∵BB₁∥CC₁，
∴∠AC₁C为异面直线AC₁与BB₁所成的角，
∵CC₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，又AC=CC₁，
∴△ACC₁是等腰直角三角形，
∴$∠AC{C}_{1}=\frac{π}{4}$，即异面直线AC₁与BB₁所成的角为$\frac{π}{4}$．
（2）取BC中点F，连结DF，则DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}AC$=1．
∵AC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩BC=C，CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴DF⊥平面BCC₁B₁，
∵AC=BC=B₁C₁=CC₁=2，
∴S${\;}_{{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴四面体B₁C₁CD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}•DF$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了异面直线所成角的计算，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．