Question

12．在△0AB中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，若|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|，则△OAB是直角三角形．

Answer 1

分析 将已知等式两边平方，利用平面向量的运算可得8$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$=0，根据平面向量数量积的运算可求cos∠AOB=0，从而可求∠AOB=90°，即可得解．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）²，解得：4$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$=-4$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$，
∴8$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$=8|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos∠AOB=0，
∴cos∠AOB=0，
∴∠AOB=90°．
故答案为：直角．

点评 本题主要考查了平面向量及应用，考查了转化思想，属于基础题．