题目内容
某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了1000人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图，同时对这1000人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表．| 组数 | 分组 | 抢购商店的人数 | 占本组的频率 |
| 第一组 | [25，30] | 120 | 0.6 |
| 第二组 | （30，35] | 195 | p |
| 第三组 | （35，40] | 100 | 0.5 |
| 第四组 | （40，45] | a | 0.4 |
| 第五组 | （45，50] | 30 | 0.3 |
| 第六组 | （50，55] | 15 | 0.3 |
（Ⅱ）从年龄落在（40，50]内的参加“抢购商品”的人群中，采用分层抽样法抽取9人参加满意度调查，①设从年龄落在（40，45]和（45，50]中抽取的人数分别为m、n，求m和n的值；②在抽取的9人中，有3人感到“满意”的3人中年龄在（40，45]内的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出年龄在[40，45）的人数为150人，由此能求出a和p的值．
（Ⅱ）①依题利用分层抽样法能求出m，n．
②由题意X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（X）．
（Ⅱ）①依题利用分层抽样法能求出m，n．
②由题意X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（X）．
解答：
解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因为总人数为1000人，
所以年龄在[40，45）的人数为1000×5×0.03=150人，
所以 a=150×0.4=60，
因为年龄在[30，35）的人数的频率为1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
所以年龄在[30，35）的人数为1000×0.3=300人，
所以p=
=0.65．…（6分）
（Ⅱ）①依题抽取年龄在[40，45）之间的人数m=9×
=6人，
抽取年龄在[45，50）之间的人数n=9×
=3人，
由题设知X=0，1，2，3，
P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和E（X）．依题利用分层抽样法能求出m，n．
②由题意X=0，1，2，3，
P（X=0）=
=
，
P（X=1）=
=
，
P（X=2）=
=
，
P（X=3）=
=
，
所以X的分布列为
所以E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=2．…（12分）
所以年龄在[40，45）的人数为1000×5×0.03=150人，
所以 a=150×0.4=60，
因为年龄在[30，35）的人数的频率为1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
所以年龄在[30，35）的人数为1000×0.3=300人，
所以p=
| 195 |
| 300 |
（Ⅱ）①依题抽取年龄在[40，45）之间的人数m=9×
| 60 |
| 60+30 |
抽取年龄在[45，50）之间的人数n=9×
| 30 |
| 60+30 |
由题设知X=0，1，2，3，
P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和E（X）．依题利用分层抽样法能求出m，n．
②由题意X=0，1，2，3，
P（X=0）=
| ||
|
| 1 |
| 84 |
P（X=1）=
| ||||
|
| 18 |
| 84 |
P（X=2）=
| ||||
|
| 45 |
| 84 |
P（X=3）=
| ||
|
| 20 |
| 84 |
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 84 |
| 18 |
| 84 |
| 45 |
| 84 |
| 20 |
| 84 |
点评：本题主要考查频率分布直方图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
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