Question

给出下列命题：
①已知椭圆

x2

16

+

y2

8

=1两焦点F₁，F₂，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线c：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、③④
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①过椭圆的两焦点F₁，F₂，分别作x轴的垂线与椭圆的4个交点即为短轴的两个顶点六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②设直线l与这条抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则|AB|=y₁+y₂+p≥

3

4

，其最小值不为2；
③过双曲线c的一个焦点（c，0）作它的一条渐近线y=

b

a

x的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

|OF|2-|FM|2

=a；
④⊙C₁：化为（x+1）²+y²=1，圆心C₁（-1，0），半径r=1；⊙C₂：化为x²+（y+1）²=2，圆心C₂（0，-1），半径R=

2

．可得

2

-1＜

2

=|C₁C₂|＜

2

+1，因此两圆相交，即可得出．

解答： 解：①过椭圆

x2

16

+

y2

8

=1两焦点F₁，F₂，分别作x轴的垂线与椭圆的4个交点即为短轴的两个顶点六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形，正确；
②直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则|AB|=y₁+y₂+p≥

3

4

，其最小值不为2，不正确；
③若过双曲线c：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点（c，0）作它的一条渐近线y=

b

a

x的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

|OF|2-|FM|2

=a，正确；
④⊙C₁：x²+y²+2x=0，化为（x+1）²+y²=1，圆心C₁（-1，0），半径r=1；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，化为x²+（y+1）²=2，圆心C₂（0，-1），半径R=

2

．
∴

2

-1＜

2

=|C₁C₂|＜

2

+1，因此两圆相交，则这两圆恰有2条公切线，正确．
其中正确命题的序号是①③④．
故选：A．

点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相交两圆的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．