Question

13．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=$\frac{40}{3x+5}$（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （I）将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出f（x）；
（II）利用导数判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最小值．

解答 解：（I）每年能源消耗费用为C（x）=$\frac{40}{3x+5}$，建造费用为6x，
∴f（x）=20C（x）+6x=$\frac{800}{3x+5}+6x$．（1≤x≤10）．
（II）f′（x）=6-$\frac{2400}{（3x+5）^{2}}$，令f′（x）=0得x=5或x=-$\frac{25}{3}$（舍）．
∴当1≤x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x≤10时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[1，5）上单调递减，在[5，10]上单调递增．
∴当x=5时，f（x）取得最小值f（5）=70．
∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．

点评 本题考查了利用导数求函数最值的方法，解析式的求解，属于中档题．