Question

3．设f（x）=-2x³+bx²+cx+d（其中b，c，d∈R），且当k＜-1或k＞4时，方程f（x）-k=0只有一个实根；当-1＜k＜4时，方程f（x）-k=0有三个相异实根．现给出下列四个命题：
①f（x）-5=0的任一实根大于f（x）+5=0的任一实根．
②f（x）+2=0的任一实根大于f（x）-2=0的任一实根．
③f（x）-4=0和f′（x）=0有一个相同的实根．
④f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根．
其中正确的命题有②③．（请写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-2x³+bx²+cx+d，当k＜-1或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当-1＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为-1，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=-2x³+bx²+cx+d，f′（x）=-6x²+2bx+c，
当k＜-1或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；
当-1＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，
故函数既有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为-1，
函数f（x）的图象先递减再递增再递减，
画出草图，如图示：
，
f（x）-5=0的任一实根小于f（x）+5=0的任一实根，故①错误；
f（x）+2=0的任一实根大于f（x）-2=0的任一实根，故②正确；
f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）=-1与f'（x）=-1有一个相同的实根，即极小值点，故④错误；
故答案为：②③．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件，判断出函数f（x）=-2x³+bx²+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．