Question

4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD上一点，且DE=$\frac{1}{4}$OD，AE的延长线交CD于F，若$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{3}{7}\overrightarrow a+\frac{4}{7}\overrightarrow b$
• B． $\frac{3}{7}\overrightarrow a-\frac{4}{7}\overrightarrow b$
• C． $\frac{4}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$
• D． $\frac{4}{7}\overrightarrow a-\frac{3}{7}\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．

解答 解：DF：BA═DE：BE=1：7；
作FG平行BD交AC于点G，
∴FG：DO=6：7，CG：CO=6：7，
∴$\overrightarrow{GF}$=$\frac{6}{14}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{6}{14}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{14}$$\overrightarrow{a}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{b}$，
故答案为：C．

点评 本题考查向量的加减运算，考查相似三角性质的应用，考试数形结合，属于中档题．