Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x₁≤x₂时，f（x₁）≤f（x₂）．当x∈[0，1]时，2f（

x

5

）=f（x），f（x）=1-f（1-x），则f（-

150

2014

）+f（-

151

2014

）+…+f（-

170

2014

）+f（-

171

2014

）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，结合f（x）=1-f（1-x），先求解f（0），f（1），f（

1

2

）的值，然后，利用条件，找规律，最后，利用函数为奇函数进行求解．

解答： 解：∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
由f（x）=1-f（1-x），
得 f（1）=1，
令x=

1

2

，则f（

1

2

）=

1

2

，
∵当x∈[0，1]时，2f（

x

5

）=f（x），
∴f（

x

5

）=

1

2

f（x），
即f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
∵

1

25

＜

150

2014

＜

1

10

，当x₁≤x₂时，f（x₁）≤f（x₂）．
则

1

4

=f(

1

25

)≤f(

150

2014

)≤f(

1

10

)=

1

4

，
∴f（

150

2014

）=

1

4

，
同理f（

150

2014

）=f（

151

2014

）=…=f（

170

2014

）=f（

171

2014

）=

1

4

．
即f（-

150

2014

）+f（-

151

2014

）+…+f（-

170

2014

）+f（-

171

2014

）
=-[f（

150

2014

）+f（

151

2014

）+…+f（

170

2014

）+f（

171

2014

）]
=-

22

4

=-

11

2

，
故答案为：-

11

2

点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的单调性，奇偶性寻找规律是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．