Question

已知函数f（x）=x₂+ax+lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）今g（x）=x²+2ax-f（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]（e=2.71828…）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）存在单调递减区间，f′（x）=2x+a+

1

x

≤0成立求解．
（2）先假设存在实数a，求导得g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，a在系数位置对它进行讨论，结合x∈（0，e]分当a≤0时，当0＜

1

a

＜e时，当

1

a

≥e时三种情况进行．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+ax+lnx，存在单调递减区间，
∴f′（x）=2x+a+

1

x

≤0由解，又函数的定义域为（0，+∞），
即a≤-（2x+

1

x

）≤-2

2

．
∴a的取值范围是（-∞，-2

2

]．
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，（7分）
当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴g（x）无最小值．
当0＜

1

a

＜e时，g（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e）上单调递增
∴g（x）_min=g（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，满足条件．（11分）
当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴f（x）无最小值．（13分）
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）

点评：本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题．