Question

设无穷等比数列{a_n}的公比为q，且a_n＞0（n∈N^*），[a_n]表示不超过实数a_n的最大整数（如[2.5]=2），记b_n=[a_n]，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）若a₁=14，q=

1

2

，求T₃；
（Ⅱ）证明：S_n=T_n（n=1，2，3，…）的充分必要条件为a_n∈N^*；
（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T_n=2n+1，证明：（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出b₁=14，b₂=7，b₃=3，由此能嫠出T₃．
（Ⅱ）先证明充分性，由an∈N*，推导出S_n=T_n．再证明必要性：对于任意的n∈N^*，S_n=T_n，推导出对一切正整数n都有an∈N*．
（Ⅲ）由已知条件推导出b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014）．a₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014），q＜1，q2012≥

2

a2

＞

2

3

，由此能证明（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．

解答： （Ⅰ）解：∵等比数列{a_n}中，a₁=14，q=

1

2

，
∴a₁=14，a₂=7，a₃=3.5．…（1分）
∴b₁=14，b₂=7，b₃=3．…（2分）
∴T₃=b₁+b₂+b₃=24．…（3分）
（Ⅱ）证明：（充分性）∵an∈N*，
∴b_n=[a_n]=a_n 对一切正整数n都成立．
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=T_n．…（5分）
（必要性））∵对于任意的n∈N^*，S_n=T_n，
当n=1时，由a₁=S₁，b₁=T₁，得a₁=b₁； …（6分）
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，得a_n=b_n．
对一切正整数n都有a_n=b_n．…（7分）
由 bn ∈Z，a_n＞0，得对一切正整数n都有an∈N*．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵T_n=2n+1（n≤2014），
∴b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014）．…（9分）
∵b_n=[a_n]，
∴a₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（10分）
由 q=

a2

a1

，得q＜1．…（11分）
∵a2014=a2q2012∈[2，3），
∴q2012≥

2

a2

＞

2

3

，
∴

2

3

＜q2012＜1，即（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．…（13分）

点评：本题考查数列的前3项和的求法，考查等式成立的充要条件的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．