Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知推导出

c

a

=

2

2

，（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线MN方程为y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过定点（2，0）．

解答： （Ⅰ）解：由椭圆C的离心率e=

2

2

，
得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-c2

，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，
解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：由题意知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，（8分）
由已知，得kF2M+kF2N=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0，（10分）
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，
整理得m=-2k，
直线MN的方程为y=k（x-2），
∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、椭圆性质、韦达定理等知识点的合理运用．