Question

18．设函数f（x）=a^x-（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[0，+∞）上的最小值为-6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0恒成立，化简整理，即可得到所求值；
（2）由f（1）的值，解得a=2，可得f（x）的解析式，由x的范围，可得t=f（x）的范围，再由g（x）化简整理可得g（x）=t²-2mt+2，t∈[0，+∞），求出对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值，解方程可得m的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x-（k+1）a^-x是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=a^-x-（k+1）a^x+a^x-（k+!）a^-x
=-k（a^x+a^-x）=0对于任意实数都成立．
∴k=0；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
由 f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，（负值舍去），
即有t=f（x）=2^x-2^-x，
由x≥0，可得2^x≥1，
由t在[0，+∞）递增，可得t∈[0，+∞），
由g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）
=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
即有函数y=t²-2mt+2，t∈[0，+∞），
由g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[0，+∞）上的最小值为-6，
即y=t²-2mt+2，t∈[0，+∞）上的最小值为-6，
对称轴为t=m，
当m≤0时，函数在[0，+∞）上递增，可得最小值为2，不成立；
当m＞0时，最小值为m²-2m²+2=-6，
解得m=±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义的运用，以及指数函数的单调性的运用，考查换元法，以及二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．