题目内容
设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则
取值范围是 ．
| m2+n2 |
| mn |
考点：其他不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：将y整理成x的一次函数的形式，得到满足m，n的可行域，从而求出
的范围，进而得到代数式
的范围．
| n |
| m |
| m2+n2 |
| mn |
解答：
解：解：设y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足
或
，
可行域如图
或
∴当且仅当m=2，n=6时，(
)max=3，∴0＜
≤3，
令y=
=
+
，
令
=x，∴y=x+
，（0＜x≤3），
∴2≤y≤
，
故答案为：[2，
]．
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足
|
|
可行域如图
或∴当且仅当m=2，n=6时，(
| n |
| m |
| n |
| m |
令y=
| m2+n2 |
| mn |
| n |
| m |
| m |
| n |
令
| n |
| m |
| 1 |
| x |
∴2≤y≤
| 10 |
| 3 |
故答案为：[2，
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查了不等式的解法，考查了线性规划问题，考查了转化思想，是一道中档题．
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