Question

已知函数f（x）=mx+

1

x+n

（m，n∈Z），曲线Y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=aln（x-1）-x（a＞0），若函数F（x）=f（x）+g（x）与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法,定积分

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，由条件得到

f(2)=3 f′(2)=0

，列出方程组，解出m，n，即可得到解析式；
（Ⅱ）求出F（x），并求导数，求出单调区间和极小值，及最小值，令它小于0，解得即可；
（Ⅲ）取曲线上任一点，求出切线的斜率和切线方程，并求与x=1和y=x的交点，再由面积公式，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=m-

1

(x+n)2

，由

f(2)=3 f′(2)=0

，即

2m+ 1 2+n =3 m- 1 (2+n)2 =0

，
解得

m=1 n=-1

或

m= 9 4 n=- 8 3

，由于m，n∈Z，所以

m=1 n=-1

，则f（x）=x+

1

x-1

．    
（Ⅱ）由（1）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，知F（x）的定义域为（1，+∞），
又F′（x）=

a

x-1

-

1

(x-1)2

=

ax-a-1

(x-1)2

，由于a＞0，令F′（x）=0，得x=1+

1

a

，
当1＜x＜1+

1

a

时，F′（x）＜0，知F（x）在（1，1+

1

a

）时单调递减，
同理，知F（x）在（1+

1

a

，+∞）时单调递增．　　　　　　　　　　　
所以F（x）_min=F（1+

1

a

）=a-alna，令a-alna＜0，即a＞e时，函数F（x）=0有两个实数根，
所以a的取值范围是（e，+∞）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x₀，x₀+

1

x0-1

），由f′（x₀）=1-

1

(x0-1)2

，
知过此点的切线方程为y-

x02-x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

]（x-x₀），
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，即切线与直线x=1的交点为（1，

x0+1

x0-1

），令y=x，得y=2x₀-1，
即切线与直线y=x的交点为（2x₀-1，2x₀-1），
又直线x=1与直线y=x的交点为（1，1），
从而所围成的三角形面积为：

1

2

|

x0+1

x0-1

-1|•|2x₀-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

|•|2x₀-2|=2，
故所围成的三角形面积为定值2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．