Question

若命题P：设F（x）是定义在R上的减函数，且对于任意的x∈[0，1]，不等式组

F(2mx-x2)＜F(m-4) F(x2-mx)＜F(m-3)

成立，命题Q：函数f（x）=x²-

2

x

，g（x）=（

1

2

）^x-m，若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，如果命题“P∨Q“为真命题，命题“￢P“为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先根据函数的单调性，二次函数图象，基本不等式，根据函数单调性求函数最小值的方法求出命题P，Q下m的取值范围，再根据命题“P∨Q“为真命题，命题“￢P“为真命题，知P为假命题，Q为真命题，所以求P假Q真时的m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题P得：

2mx-x2＞m-4 x2-mx＞m-3

在[0，1]上恒成立；
即

x2-2mx+m-4＜0 x2-mx-m+3＞0

在[0，1]上恒成立；
设h（x）=x²-2mx+m-4，则：

h(0)=m-4＜0 h(1)=-m-3＜0

，解得-3＜m＜4；
设φ（x）=x²-mx-m+3，则：
m＜

x2+3

x+1

对于任意的x∈[0，1]恒成立；

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2≥2，当且仅当x=1时取“=”；
∴m＜2；
综上，若P为真时-3＜m＜2；
由命题Q得：f（x）在区间[1，2]上的最小值大于等于g（x）在区间[-1，1]上的最小值；
x∈[1，2]时，f′（x）=2x+

2

x2

＞0；
所以f（x）在[1，2]上单调递增；
∴f（1）=-1是f（x）在[1，2]上的最小值；
g（x）在[-1，1]上单调递减；
∴g(1)=

1

2

-m是g（x）在[-1，1]上的最小值；
∴-1≥

1

2

-m，∴m≥

3

2

；
如果命题“P∨Q“为真命题，命题“￢P“为真命题，则P为假命题，Q为真命题；
∴

m≤-3，或m≥2 m≥ 3 2

；
∴m≥2
∴实数m的取值范围为[2，+∞）．

点评：考查增函数的定义，结合二次函数图象解决问题，根据导数或函数单调性的定义判断函数的单调性，以及根据函数单调性求函数的最小值，P∨Q，￢P的真假和P，Q真假的关系．