Question

4．已知G点为△ABC的重心，且满足BG⊥CG，若$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{λ}{tanA}$，则实数λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用G点为△ABC的重心，且满足BG⊥CG，得到$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{CG}$=0，进一步得到用$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得．

解答 解：∵G点为△ABC的重心，且满足$BG⊥CE⇒\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{CG}=0$
∴$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）•\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$所以$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）（\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}）$=0，
展开得${\overrightarrow{BA}}^{2}-2{\overrightarrow{BC}}^{2}-\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=0，即${c}^{2}-2{a}^{2}-ac•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=0$，∴5a²=b²+c²
而$λ=\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinA}{cosA}•\frac{sin（B+C）}{sinB•sinC}$=$\frac{a^2}{{bc•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}}}=\frac{{2{a^2}}}{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}=\frac{{2{a^2}}}{{4{a^2}}}=\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质以及数量积的运算和余弦定理的运用；关键是得到三边的关系．