Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若将f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当x∈[$\frac{π}{2}，π}$]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\sqrt{3}{cos^2}x=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{1+cos2x}）$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（{2x-\frac{π}{3}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因此f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以，f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}}]，k∈Z$．
（2）将f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的图象，
当x∈[$\frac{π}{2}，π}$]时，x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
即函数g（x）的值域为[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．