Question

7．实数x，y满足x²+4|xy|=1，则x²+2y²的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由x²+4|xy|=1求出|y|=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{|x|}$-|x|），代入x²+2y²中，利用基本不等式，求出x²+2y²的最小值．

解答 解：∵x²+4|xy|=1，
∴|y|=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{|x|}$-|x|），
∴x²+2y²=x²+$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{|x|}$-|x|）²=$\frac{9}{8}$x²+$\frac{1}{8}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，
∴x²+2y²的最小值是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是由x²+4|xy|=1求出|y|=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{|x|}$-|x|），使它能利用基本不等式，是基础题目．