Question

12．已知函数f（x）=|x+2|+|ax-4|．
（Ⅰ）若a=1，存在x∈R使f（x）＜c成立，求c的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，解不等式f（x）≥5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，做出f（x）=|x+2|+|x-4|的图象，讨论函数图象即可得解．
（Ⅱ）不等式即|x+2|+|2x-4|≥5，通过去绝对值符号，列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，存在x∈R使f（x）=|x+2|+|x-4|＜c成立，
做出f（x）的图象如下：

由函数图象可知：当-2≤x≤4时，f（x）=6＜C，
故C＞6．…（4分）
（Ⅱ）当a=2时，不等式f（x）≥5，即|x+2|+|2x-4|≥5，
等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{2+x+2（2-x）≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x+2+2（2-x）≥5}\end{array}\right.$，或  $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+2+2（x-2）≥5}\end{array}\right.$，
解得：x≤1，或x≥$\frac{7}{3}$，
故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤1，或x≥$\frac{7}{3}$}．…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题．