Question

5．如图，△ABC的边AB、BC与⊙O交于A、D、E、C四点，且AC=BE，∠ADC=∠BDE．
（Ⅰ）求证：CD平分∠ACB；
（Ⅱ）若2BE=3DE=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△ACD≌△EBD，可得AD=ED，从而∠ACD=∠ECD，即CD平分∠ACB；
（Ⅱ）证明△ABC∽△EBD，求出AB，BD，利用割线定理，求BC的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵A，C，E，D四点共圆，
∴∠CAD=∠BED，
∵∠ADC=∠EDB，AC=BE，
∴△ACD≌△EBD，
∴AD=ED，
∴∠ACD=∠ECD，
∴CD平分∠ACB；
（Ⅱ）解：由∠ACB=∠BDE，∠BAC=∠BED可知△ABC∽△EBD，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AC}{DE}$，
∵2BE=3DE=3，∴AB=$\frac{9}{4}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{5}{4}$，
∵BD•BA=BE•BC，
∴$\frac{5}{4}×\frac{9}{4}=\frac{3}{2}BC$，
∴BC=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查三角形全等的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．