Question

已知函数f（x）=

3 tanwx+1

tan2wx+1

．
（1）若f（x+

π

2

）=-f（x），求f（x）的单调增区间
（2）若f（-x）=f（

2π

3

+x），0＜w＜2，求w的值
（3）若f（x）在[-

3π

2

，

π

2

]上单调递增，求W的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正切函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简解析式可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由f（x+π）=f（x），可得T=π，从而解得ω，得到解析式f（x）=sin（4x+

π

6

）+

1

2

，从而可求f（x）的单调增区间．
（2）由f（x+

4π

3

）=f（x），可求周期，继而可求ω的值．
（3）由题意知，

π

2

-（-

3π

2

）≤

T

2

，可解得ω=

2π

T

≤

1

2

．

解答： 解：（1）f（x）=

3 tanwx+1

tan2wx+1

=

3 sinωx cosωx +1

sin2ωx cos2ωx +1

=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=-[-f（x）]=f（x），
∴T=π，
∴ω=1，即有f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故f（x）的单调增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）∵f（x+

4π

3

）=f[（x+

2π

3

）+

2π

3

]=f[-（x+

2π

3

）]=f[-（-x）]=f（x），
∴T=

2π

2ω

=

4π

3

，
∴ω=

3

4

．
（3）∵由题意知，f（x）在[-

3π

2

，

π

2

]上单调递增，则有：

π

2

-（-

3π

2

）≤

T

2

，
∴T≥4π，
∴ω=

2π

T

≤

1

2

．

点评：本题主要考察了函数的性质及应用，三角函数的图象与性质，考察了转化思想，属于中档题．