Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，其中n∈N^*
（1）设b_n=

2

2an-1

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若c_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2 bn是否存在λ，使得对任意n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：：对一切正整数n，有

1

b1(b1+1)

+

1

b2(b2+1)

+…+

1

bn(bn+1)

＜

13

42

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）利用等差数列的定义判断；（2）由c_n+1＞c_n，得到λ的不等式，注意对n的奇偶性讨论，得到n的范围；（3）裂项求和即可．

解答： 解：（1）证明：b_n+1-b_n=b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2
所以数列{b_n}是等差数列，a₁=1，b₁=2，因此b_n=2n．…（4分）
（2）c_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2 bn=6ⁿ+（-1）^n-1λ•4ⁿ，由c_n+1＞c_n恒成立，则
6ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•4^n+1_＞6ⁿ+（-1）^n-1λ•4ⁿ⇒6ⁿ+（-1）ⁿλ•4^n_＞0
当n为偶数时，λ＞-

6n

4n

=-(

3

2

)n，∴λ＞[-(

3

2

)n]_max=-

9

4

当n为奇数时，λ＜=

6n

4n

=(

3

2

)n，∴λ＜[(

3

2

)n]_min=

3

2

    综上λ∈（-

9

4

，

3

2

）..…（9分）
（3）由（1）

1

bn(bn+1)

=

1

2n(2n+1)

=

4

16n2+8n

＜

4

16n2+8n-3

=

4

(4n-1)(4n+3)

=

1

4n-1

-

1

4n+3

（n≥2）．
．
∴

1

b1(b1+1)

+

1

b2(b2+1)

+…+

1

bn(bn+1)

＜

1

6

+（

1

7

-

1

11

+

1

11

-

1

15

+…+

1

4n-1

-

1

4n+1

）=

13

42

-

1

4n+3

＜

13

42

．

点评：本题主要考查了等差数列的判断，数列的求和数列递推关系的综合应用，试题的综合性较强，属于中档题．